基礎の数学 (1) - LYNCSブログ

僕が大学生になって初めて買った数学の書籍は数論〇説でした. 意気揚々と取り組んだところ読み始めて間もなく,

$写像Cは\mathbb{R}-\mathbb{Q}から\displaystyle\sum_{2}^\infty\mathbb{N}への全単射である.$

という定理を示すとか出てきやがって,先輩の「大学の数学の本は前提知識の導入もしてくれている」という言葉を思い出しながら悶絶しました.(この書籍は証明の行間も省きまくりでかなりしんどかったです)

数学を学ぶにしても,掛け算が分からなければ因数分解なんて理解出来やしないように,それなりの前提知識は必要なわけですたぶん.

知らない概念が出てくる度に調べるのも悪くはないですが,どうせならはじめにまとめて導入してしまいましょう,ということで大学数学を勉強し始めるにあたって必要そうな前提知識について数回に分けて生意気に記事なんかを書いてみます.

1 命題・論理

数学における命題(proposition)とは,それが正しい(真)かあるいは正しくない(偽)かのどちらに定まる主張のことである.

命題のうち,特に重要なものは定理(theorem)と呼ばれる.

命題 $P$ に対して, $\lnot P$ を $P$ の否定(negation)という. $\lnot P$ は,「 $P$ でない」ということを表し, $P$ と $\lnot P$ では真と偽が正反対になっている.

2つの命題 $P,Q$ について,「 $P$ または $Q$ 」という命題を $P \lor Q$ ,「 $P$ かつ $Q$ 」という命題を $P \land Q$ と書く. $\lor$ は論理和や選言(disjunction), $\land$ は論理積や連言(conjunction)と呼ばれる.

「 $P$ または $Q$ が真である」というのは「 $P$ と $Q$ の少なくともどちらか一方が真である」ということであり,

「 $P$ かつ $Q$ が真である」というのは「 $P$ と $Q$ がともに真である」ということである.

「 $P$ ならば $Q$ 」 ( $P \Rightarrow Q$ と書く)は「 $P$ が真であるときは必ず $Q$ も真である」という事を主張している.

$P$ が偽であるとき,これは何も主張していないという事になる.

また, $P \Rightarrow Q$ が成り立つことを

$Q$ は $P$ の必要条件(necessary condition)である.
$P$ は $Q$ の十分条件(sufficient condition)である.

と表現することもある.

$P \Rightarrow Q$ と $Q \Rightarrow P$ が同時に成り立つとき, $P$ は $Q$ の必要十分条件(necessayr and sufficient condition)であるといい, $P \Leftrightarrow Q$ と書く.

このとき, $Q$ は $P$ の必要十分条件という事も出来るので, $P \Leftrightarrow Q$ とも書ける.

$P \Leftrightarrow Q$ が成り立つとき,「 $P$ と $Q$ は同値(equivalent)である」と言う.

$Q \Rightarrow P$ , $\lnot P \Rightarrow \lnot Q$ , $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ をそれぞれ $P \Rightarrow Q$ の逆(converse),裏(inverse),対偶(contrapositive)という.